Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），已知點（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，若|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，求直線AF的斜率．

Answer 1

（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），
點（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓上，
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e2 a2 + 3 4b2 =1

，
∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，
∴

1

a2

+

e2

b2

=

1

a2

+

1- b2 a2

b2

=

1

a2

+

1

b2

-

1

a2

=1，解得b²=1，

∵

e2

a2

+

3

4b2

=

a2-b2

a4

+

3

4b2

=1，
∴a⁴-4a²+4=（a²-2）=0，解得a²=2，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）∵橢圓方程為

x2

2

+y2=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，得（m²+2）y12-2my₁-1=0．
∴y1=

m+ 2m2+2

m2+2

，或y1=

m- 2m2+2

m2+2

（舍），
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y1|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

，①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

，②
∵|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，
∴由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直線AF₁的斜率為

1

m

=

2

2

．