Question

某投資公司計劃投資A，B兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤y₁與投資金額x的函數關系為y₁=18-

180

x+10

，B產品的利潤y₂與投資金額x的函數關系為y₂=

x

5

 （注：利潤與投資金額單位：萬元）．
（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產品中，其中x萬元資金投入A產品，試把A，B兩種產品利潤總和表示為x的函數，并寫出定義域；
（2）在（1）的條件下，試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）其中x萬元資金投入A產品，則剩余的100-x（萬元）資金投入B產品，根據A產品的利潤y₁與投資金額x的函數關系為y₁=18-

180

x+10

，B產品的利潤y₂與投資金額x的函數關系為y₂=

x

5

，可得利潤總和；
（2）f（x）=40-

x+10

5

-

180

x+10

，x∈[0，100]，由基本不等式，可得結論．

解答：解：（1）其中x萬元資金投入A產品，則剩余的100-x（萬元）資金投入B產品，
利潤總和f（x）=18-

180

x+10

+

100-x

5

=38-

x

5

-

180

x+10

（x∈[0，100]）．…（6分）
（2）∵f（x）=40-

x+10

5

-

180

x+10

，x∈[0，100]，
∴由基本不等式得：f（x）≤40-2

36

=28，取等號，當且僅當

x+10

5

=

180

x+10

時，即x=20．…（12分）
答：分別用20萬元和80萬元資金投資A、B兩種金融產品，可以使公司獲得最大利潤，最大利潤為28萬元．…（13分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，考查函數模型的建立，屬于中檔題．