Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點M使得CM∥平面PAD？若存在，求

PM

PB

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質，根據AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；
（Ⅱ）取BC的中點O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，以O為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面PAD的法向量

m

=(1，-2，-

3

)，平面BCP的一個法向量

n

=(0，1，0)，利用向量的夾角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；
（Ⅲ）在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時

PM

PB

=

1

2

，證明平面MNC∥平面PAD，可得∥平面PAD．

解答：（Ⅰ）證明：因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC．…（1分）
因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC；…（3分）
（Ⅱ）解：取BC的中點O，連接PO．
因為PB=PC，所以PO⊥BC．
因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO?平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD．…（4分）
如圖，以O為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz．
不妨設BC=2．由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P（0，0，

3

），D（-1，1，0），A（1，2，0）．
所以

DP

=(1，-1，

3

)，

DA

=(2，1，0)．
設平面PAD的法向量

m

=(x，y，z)．
因為

m • DP =0 m • DA =0

，所以 

x-y+ 3 z=0 2x+y=0

令x=1，則y=-2，z=-

3

．
所以

m

=(1，-2，-

3

)．…（7分）
取平面BCP的一個法向量

n

=(0，1，0)，所以cos＜

m

，

n

＞=-

2

2

．
所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小為

π

4

．…（9分）
（Ⅲ）解：在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時

PM

PB

=

1

2

．理由如下：…（10分）
取AB的中點N，連接CM，CN，MN，則MN∥PA，AN=

1

2

AB．
因為AB=2CD，所以AN=CD．
因為AB∥CD，所以四邊形ANCD是平行四邊形．
所以CN∥AD．
因為MN∩CN=N，PA∩AD=A，
所以平面MNC∥平面PAD（13分）
因為CM?平面MNC，所以CM∥平面PAD．…（14分）

點評：本題考查線面垂直、線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，利用空間向量求解面面角．