Question

(本小題滿分12分)已知兩點，直線，在直線上求一點.
（1）使最小； （2）使最大.  

Answer 1

（1）直線A₁B與的交點可求得為,由平面幾何知識可知最小.（2）直線AB與的交點可求得為，它使最大.

試題分析：（1）要使得點P到點A,B的距離和最小，則利用兩邊之和大于等于第三邊，結合對稱性，做一個點A，（或者B）的關于直線的對稱點A’（,或者B’），然后連接A’B與直線相交的交點即為所求的最小值的點P的位置。通過等價轉化得到結論。
（2）而要求解的最大值，則利用兩點在直線的同側，可以連線，延長與直線相交，結合兩邊之差小于等于第三邊，當三點共線的時候滿足最大值得到結論。
解：（1）可判斷A、B在直線l的同側，設A點關于的對稱點A₁的坐標為（x₁，y₁）.
則有﹍﹍﹍﹍﹍2分     
解得 ﹍﹍﹍﹍4分
由兩點式求得直線A₁B的方程為，            ﹍﹍﹍﹍5分
直線A₁B與的交點可求得為                     ﹍﹍﹍﹍6分
由平面幾何知識可知最小.
（2）由兩點式求得直線AB的方程，即.﹍﹍﹍﹍8分
直線AB與的交點可求得為，它使最大.        ﹍﹍﹍﹍12分
點評：解決該類最值問題，一般要轉換為三點共線的特殊情況來得到。