Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零常數l，使得對于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數，l是一個高調值．
現給出下列命題：
①函數f（x）=(

1

2

)x為R上的高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的高調函數
③若函數f（x）=x²+2x為（-∞，1]上的高調函數，則高調值l的取值范圍是（-∞，-4]．
其中正確的命題個數是（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：因為f（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對；對于②，當l=π時f（x+l）≥f（x），恒成立；所以②對對于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③對．

解答：解：對于①，f（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對；
對于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），當l=π時恒成立；所以函數f（x）=sin2x為R上的高調函數
所以②對
對于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x
令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x
即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立
∴

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③對
故正確的命題個數是3個
故選D

點評：解決新定義題，關鍵是理解透題中“高調函數”的含義，屬于中檔題．