Question

（上海卷理20）設P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經過原點與點(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x²＝2py（p≠0）的異于原點的交點

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點Q的坐標.

⑵已知點P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y²＝1上，p＝，求證：點Q落在雙曲線4x²－4y²＝1上.

⑶已知動點P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點Q始終落在一條關于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由.

Answer 1

【解析】（1）當時，

解方程組     得  即點的坐標為    ……3分

（2）【證明】由方程組    得    即點的坐標為 …5分

時橢圓上的點，即    ，

因此點落在雙曲線上                        ……8分

（3）設所在的拋物線方程為                ……10分

將代入方程，得，即   ……12分

當時，，此時點的軌跡落在拋物線上；

當時，  ，此時點的軌跡落在圓上；

當時，，此時點的軌跡落在橢圓上；

當時，此時點的軌跡落在雙曲線上； ……16分