Question

某工廠生產一種機器的固定成本（即固定收入）為0.5萬元，但每生產100臺，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此產品的年需求量為500臺，銷售的收入函數R（x）=5x-

x2

2

（萬元）（0≤x≤5），其中x是產品售出的數量（單位：百臺）
（1）把利潤表示為年產量的函數
（2）年產量是多少時，工廠所得利潤最大？
（3）年產量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

分析：（1）根據題意，分0≤x≤5和x＞5兩種情況進行討論，分別根據利潤=銷售收入-成本，列出函數關系，即可得到利潤表示為年產量的函數；
（2）根據（1）所得的分段函數，分類討論，分別求出兩段函數的最值，然后進行比較，即可得到答案；
（3）工廠不虧本時，則利潤大于等于0，從而根據利潤的表達式，列出不等式，求解即可得到答案．

解答：解：（1）∵某廠生產一種產品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，每生產一百件這樣的產品，需要增加可變成本0.25萬元，產品售出的數量為x百臺，銷售的收入函數R（x）=5x-

x2

2

（萬元）（0≤x≤5），設利潤函數為L（x），
∴當0≤x≤5時，
L（x）=（5x-

x2

2

）-（0.5+0.25x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
當x＞5時，只能售出5百臺，
∴L（x）=（5×5-

52

2

）-（0.5+0.25x）=12-0.25x，
綜上，L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

；
（2）∵L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
①當0≤x≤5時，L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
∵拋物線開口向下，對稱軸為x=4.75，
∴當x=4.75時，L（x）_max=L（4.75）=10.75；
②當x＞5時，L（x）=12-0.25x為R上的減函數，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
綜合①②，當x=4.75時，L（x）取最大值，
∴年產量為475臺時，所利潤最大．
（3）∵工廠不虧本時，則L（x）≥0，
當0≤x≤5時，令L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5≥0，解得0≤x≤5；
當x＞5時，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年產量是0≤x≤48時，工廠才不虧本．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型，本題建立的數學模型為二次函數和分段函數，應用相應的數學知識進行求解．屬于中檔題．