Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁=a（a∈R），設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁、a₂、a₄恰為等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}的通項公式及S_n；
（2）當n≥2時，比較An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

與Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的大小．（可使用結論：n≥2時，2ⁿ＞n+1）

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a22=a1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，由此能夠求出數列{a_n}的通項公式及S_n．
（2）由

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，知An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．由{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，知{b_n}是首項為a，公比為2的等比數列，由此能導出當a＞0時，A_n＜B_n；當a＜0時，A_n＞B_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a22=a1a4，…（1分）
得(a1+d)2=a1(a1+3d)…（2分）
∵d≠0，∴d=a，
∴a_n=na₁，Sn=

an(n+1)

2

．
（2）∵

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．
∵{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，
∴{b_n}是首項為a，公比為2的等比數列，
∴bn=a×2n-1，
∴Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

a

(1-

1

2 n

)，
∵當n≥2時，2ⁿ＞n+1，
即1-

1

n+1

＜1-

1

2 n

，
∴當a＞0時，A_n＜B_n；當a＜0時，A_n＞B_n．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．