Question

如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡單組合體如圖2示，已知分別為的中點．
   
圖1                              圖2
（1）求證：平面；
（2）求證： ；
（3）當多長時，平面與平面所成的銳二面角為？

Answer 1

（1）主要是得到（2）關鍵是證明平面，（3）

試題分析：（1）證明：連，∵四邊形是矩形，為中點，
∴為中點，                   
在中，為中點，則為的中位線
故       
∵平面，平面，平面；
（其它證法，請參照給分）

（2）依題意知 且
∴平面
∵平面，∴，    
∵為中點，∴
結合，知四邊形是平行四邊形
∴，               
而，∴ ∴，即 --8分
又       ∴平面，
∵平面，  ∴.            
（3）解：如圖，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系

設，則
易知平面的一個法向量為，  
設平面的一個法向量為，
則 故，即
令，則，故           
∴，
依題意，，解得，                 
即時，平面與平面所成的銳二面角為．
點評：在立體幾何中，常考的定理是：直線與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理。在求二面角的平面角時，常利用向量來求解。