Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且點O為AC中點．
（Ⅰ）證明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O為AC的中點，∴A1O⊥AC，

又∵側面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC，且A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC．

解：（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0）， ，

∴ ， ，

設平面AA1B的一個法向量為 ，

則有 ，

令x=1，得 ，z=1

∴ …（8分）

∵A1O⊥平面ABC

∴平面ABC的一個法向量

∴

又二面角A1﹣AB﹣C是銳角

∴二面角A1﹣AB﹣C的余弦值為

【解析】（Ⅰ）推導出A1O⊥AC，由此利用側面AA1C1C⊥底面ABC，能證明A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．