Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，過的直線與y軸交于點M，滿足（O為坐標原點），且直線l與直線之間的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點P，滿足？存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在兩個不同點P，滿足

【解析】

（1）根據直線方程求出和焦點，計算出橢圓方程的基本量；

（2）求出滿足的點P的軌跡方程，將問題轉化為考慮直線與曲線的交點個數問題.

（1）設橢圓C的半焦距為c

因為直線l的方程為，令，得，則點，即.

令，得，則點

由，得，解得，所以.

所以

所以橢圓C的方程為

（2）存在點P，滿足

因為直線與直線之間的距離為，

所以，解得或

因為，所以舍去，故

故直線的方程為：

設直線上存在點滿足，且點，，

則

整理得，它表示圓心在，半徑的圓

因為圓心到的距離為，所以

所以直線與圓相交，

所以在直線存在兩個不同點P，滿足