Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－2x—3與兩條坐標軸的三個交點都在圓C上．若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，

（1）求圓C的標準方程；

（2）若 （O為原點），求a的值．

Answer 1

【答案】. （1）(x－1)2＋(y+1)2＝5.（2）a＝-4

【解析】

（1）先求出曲線y＝x2－2x—3與兩條坐標軸的三個交點坐標，設圓C的圓心為(1，t)，求出t的值和圓的半徑，由此能求出圓C的方程.

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線與圓的方程，根據一元二次方程判別式和韋達定理，以及，即可求出a 的值.

解：(1)曲線y＝x2－2x—3與y軸的交點為(0,-3)，與x軸的交點為(-1，0)，(3，0)．

故可設圓C的圓心為(1，t)，則有12＋(t+3)2＝(1+1)2＋t2，解得t＝.

則圓C的半徑為.

則以圓C的方程為(x－1)2＋(y+1)2＝5.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

其坐標滿足方程組：消去y，得到方程2x2＋2ax＋a2+2a-3＝0.

Δ＝24－16a－4a2>0，且x1＋x2＝－a，x1x2＝.①

由可得x1x2＋y1y2＝5，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝5.②

由①，②得a＝-4或a=2 ,

因為滿足Δ>0，故a＝-4