Question

（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F．若C的右準(zhǔn)線l的方程為x＝4，離心率e＝．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方．圓M經(jīng)過(guò)O、F、P三點(diǎn)，求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時(shí)圓M的方程．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為  則

 

   得：，，

 

所以所求橢圓C的方程為

 

（2）方法一、由（1）知，由題意可設(shè) 

線段的垂直平分線方程為  ①

因?yàn)榫�段的中心為，斜率為.

 

所以線段的垂直平分線方程為

 

即：　　②

 

聯(lián)立①②，解得

 

即：圓心     

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052502423957818919/SYS201205250244059687752784_DA.files/image009.png">，所以，當(dāng)且僅當(dāng)  即：時(shí)，

 

圓心到軸的距離最小，此時(shí)圓心為，半徑為，

故所求圓的方程為.

方法二：由（1）知F（2，0）由題可設(shè)的方程為

將點(diǎn)F、P的坐標(biāo)代入得 解得：

 

所以圓心的坐標(biāo)為，即：

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052502423957818919/SYS201205250244059687752784_DA.files/image009.png">，所以，當(dāng)且僅當(dāng)  即：時(shí)，

 

所以圓心到軸的距離最小，此時(shí)

故所求圓的方程為：

【解析】略