Question

已知且，函數，，記．
（Ⅰ）求函數的定義域及其零點；
（Ⅱ）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）函數的定義域，其零點為0；（Ⅱ）①當時，實數的取值范圍為：；②當時，實數的取值范圍為：．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知可得函數的解析式：（且）．由可得函數的定義域．令，由對數函數的性質化同底后可解得的值，注意需驗證是否在函數定義域內；（Ⅱ）把關于的方程化為：，設，構造函數，可得這個函數單調性和最值，從而得，最后分和兩種情況可求得實數的取值范圍．
試題解析：（1）（且），由 ，解得，所以函數的定義域為．令，則（*）
方程變為，，即，解得，  4分
經檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，所以函數的零點為．    6分
（2）（），，．設，則函數在區間上是減函數，當時，此時，，所以．①若，則，方程有解；②若，則，方程有解．                                         13分
考點：1．函數的零點與方程的根的關系；2．函數的定義域和最值．