Question

【題目】在平面直角坐標系中，將曲線(為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線交于兩點，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）的直角坐標方程為，的普通方程為；（2）

【解析】

（1）先求出曲線的參數方程，然后消去參數，即可求出曲線的直角坐標方程；由，，能求出直線的普通方程；

（2）求出直線的參數方程，并代入，得到，由此借助韋達定理即可求出的值.

（1）設曲線上任意一點，則有，

消去得，

所以，曲線的直角坐標方程為.

由，得的普通方程為.

（2）直線的參數方程為(為參數)，將其代入，

得，即，

設對應的參數分別為，則，

因為，

所以，.