Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）=-（x²-3x+1）e^x-9（x＞0）．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）是否存在x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）＞f（x₀）？若存在，試求出x₀的值；若不存在，請說明理由；
（3）若?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）+a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導數，令導數大于0，求出x的范圍即函數的單調遞增區間，進一步求出單調遞減求出，根據極值的大于得到極值．
（2）求出g（x）的導數，令導函數大于0，求出函數的單調遞增區間，進一步求出單調遞減區間，求出g（x）的最大值，判斷出f（x）的最小值與g（x）的最大值的特殊關系，得到不存在x₀滿足條件．
（3）將不等式恒成立問題轉化為（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，將（1），（2）中求出的最值代入，得到關于a的不等式，解不等式求出a 的范圍．

解答：解：（1）由f′(x)=x-

1

x

＞0(x＞0)
得，x＞1，
故f（x）在（1，+∞）遞增，在（0，1）遞減，
故f（x）有極小值為f(1)=

1

2

，無極大值．            
（2）由g'（x）=-（x²-3x+1）e^x-（2x-3）e^x=-（x²-x-2）e^x＞0得，
解得0＜x＜2
故g（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
故g（x）_max=g（2）=e²-9＜0
又由（1）知f(x)min=

1

2

＞0，
故不存在x₀滿足條件．           
（3）問題轉化為f（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，
由（2）得，

1

2

＞e2-9+a，
故a＜

19

2

-e2

點評：求函數的單調區間，一般求出函數的導函數，令導函數大于0求出單調遞增區間，令導函數小于0求出函數的單調遞減區間；解決不等式恒成立問題，常轉化為函數的最值問題．