Question

已知曲線C：（θ為參數），若A、B是曲線C上關于坐標軸不對稱的任意兩點．
（1）求AB的垂直平分線l在x軸上截距的取值范圍；
（2）設過點M（1，0）的直線l是曲線C上A，B兩點連線的垂直平分線，求l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）曲線C即：+y²=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），
則有 +y₁²①，+y₂²=1 ②，由①-②可得+y₁²-y₂²=0．
故AB的斜率k_AB=．（2分）
l的方程y-y₀=（x-x₀），令y=0，x=x₀．（4分）
∵-2＜x₀＜2，∴x∈（-，），即l在x軸上截距的取值范圍為 （-，）．（6分）
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），AB的中點M（x₀，y₀）．由（1）可知k_AB=-，∴k=．
∵M在直線l上，∴y₀=（x₀-1）．∵y₀≠0，∴x₀=．（8分）
∵M（x₀，y₀）在橢圓內部．∴+y₀²＜1，即+y₀²＜1．（10分）
故有-＜y₀＜且y₀≠0． 再由 k===3y₀．
可得-＜k＜且k≠0，即l的斜率k的取值范圍為{k|-＜k＜且k≠0}．（12分）
分析：（1）曲線C即：+y²=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），把A、B兩點的坐標分別代入橢圓的方程，相減求出AB的斜率，用點斜式求得l的方程，從而求得l在x軸上截距x=x₀，再由-2＜x₀＜2求出截距的范圍．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），AB的中點M（x₀，y₀），求出k=，把點M的坐標代入l的方程可得 x₀=．由 M（x₀，y₀）在橢圓內部可得+y₀²＜1，再由-＜y₀＜且y₀≠0 以及 k==3y₀，求得k的取值范圍．
點評：本題主要考查橢圓的參數方程，直線和圓錐曲線的位置關系的應用，屬于中檔題．