Question

【題目】已知函數f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1．
（1）求y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若x＞0時，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），

∴f'（0）=0，

因此y=f（x）在（0，f（0））處的切線l的斜率為0，

又f（0）=0，

∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=0；

（2）解：當x＞0時，f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1＞0恒成立，

令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex，

若a≥0，則g′（x）=（ax+1+2a）ex＞0，g（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1）在（0，+∞）上為增函數，

又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數，

由f（0）=0，∴x＞0時，不等式f（x）＞0恒成立；

若a＜0，當a 時，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上為減函數，

∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為減函數，

由f（0）=0，∴x＞0時，不等式f（x）＞0不成立；

當 ＜a＜0時，x∈（0， ）時，g′（x）＞0，x∈（ ）時，g′（x）＜0，

g（x）在（0，+∞）上有最大值為g（ ），當x→+∞時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴存在x0∈（ ），使f（x）＜0，即x＞0時，不等式f（x）＞0不恒成立．

綜上，a的取值范圍為[0，+∞）．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直線方程的點斜式求得y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），則g′（x）=（ax+1+2a）ex ， 然后對a分類分析，當a≥0，則g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上為增函數，結合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上為增函數，再由f（0）=0，可得x＞0時，不等式f（x）＞0恒成立；當a＜0時，由導數分析x＞0時，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．