Question

已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為對(duì)角線的菱形的一頂點(diǎn)為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

（1）（2）面積取最大值1，= 

試題分析：（Ⅰ）∵
故所求橢圓為：又橢圓過(guò)點(diǎn)（）  ∴ ∴ ∴
(Ⅱ)設(shè)的中點(diǎn)為
將直線與聯(lián)立得，
 ①
又=
又（-1，0）不在橢圓上，依題意有整理得 ②…
由①②可得，∵, 設(shè)O到直線的距離為，則
 =
=…分）
當(dāng)的面積取最大值1，此時(shí)= ∴直線方程為= 
點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交時(shí)常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方程轉(zhuǎn)化求解出弦長(zhǎng)，本題求解三角型面積最值轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，有時(shí)利用均值不等式求最值，此題中第二小題屬于難題