Question

已知（m為常數，m>0且m≠1）．
設（n∈^?）是首項為m²，公比為m的等比數列．
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若，且數列的前n項和為S_n，當m＝2時，求S_n；
（3）若，問是否存在m，使得數列中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

.解：（1）由題意f（a_n）＝，即．
∴a_n＝n＋1，（2分）      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．（4分）
（2）由題意＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，
當m＝2時，b_n＝（n＋1）·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1　①（6分）
①式兩端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2　②
②－①并整理，得
S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．（9分）
（3）由題意＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝（n＋1）·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n<c_n+1對一切n∈N^*成立，
即（n＋1）·mⁿ⁺¹·lgm<（n＋2）·mⁿ⁺²·lgm，對一切n∈N^*成立，
①當m>1時，lgm>0，所以n＋1<m（n＋2）對一切n∈N^*恒成立；
（11分）
②當0<m<1時，lgm<0，所以等價使得>m對一切n∈N^*成立，
因為＝1－的最小值為，所以0<m<．
綜上，當0<m<或m>1時，數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項．
（14分）

略