Question

如圖，P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1(xy≠0)上的動點，F₁、F₂是橢圓的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且

F2M

•

MP

=0．則|OM|的取值范圍

（0，3）

．

Answer 1

分析：延長F₂M交PF₁于點N，由題意可知△PNF₂為等腰三角形，得OM是△PF₁F₂的中位線．利用三角形中位線定理和橢圓的定義，算出|OM|=a-|PF₂|，再由橢圓的焦半徑|PF₂|的取值范圍加以計算，即可得到|OM|的取值范圍．

解答：解：∵

F2M

•

MP

=0，∴

F2M

⊥

MP

延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，
且M為F₂M的中點，可得OM是△PF₁F₂的中位線
∴|OM|=

1

2

|NF₁|=

1

2

（|PF₁|-|PN|）
=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=

1

2

（2a-2|PF₂|）=a-|PF₂|
∵a-c＜|PF₂|＜a+c
∴0＜|OM|＜c=

a2-b2

=3
∴|OM|的取值范圍是（0，3）
故答案為：（0，3）

點評：本題給出橢圓焦點三角形角平分線的垂線，求垂足到橢圓中心距離的范圍．著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質、等腰三角形的判定與性質和三角形中位線定理等知識，屬于中檔題．