Question

已知：等邊△ABC的邊長為2，D，E分別是AB，AC的中點，沿DE將△ADE折起，使AD⊥DB，連AB，AC，得如圖所示的四棱錐A-BCED．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCED的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AC⊥面ABD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面ABD內(nèi)兩相交直線垂直，而BD⊥AC，AB⊥AC
，BD∩AB=B，滿足定理條件；
（Ⅱ）在梯形BCED中，易知S_△CDE：S_△BCD=1：2，V_A-BCD=2V_A-DCE，則VA-BCED=

3

2

VA-BCD，根據(jù)體積公式解之即可．

解答：證明：（Ⅰ）連DC，在等邊△ABC中有BD⊥CD，
而BD⊥AD，AD∩DC=D∴BD⊥面ADC，又AC?面ADC∴BD⊥AC，（3分）
在△ADB中，AD=DB=1，∠ADB=90°，則AB=

2

，由對稱性知，AC=

2

在△ABC中，AB=

2

，AC=

2

，BC=2，則AB⊥AC
又BD∩AB=B，∴AC⊥面ABD；（7分）
（Ⅱ）在梯形BCED中，易知S_△CDE：S_△BCD=1：2
∴V_A-BCD=2V_A-DCE
∴VA-BCED=

3

2

VA-BCD
又VA-BCD=VC-ADB=

1

3

×

1

2

•AD•DB•AC=

1

3

×

1

2

×

2

=

2

6

∴VA-BCED=

3

2

×

2

6

=

2

4

．（14分）

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．