Question

（2013•許昌三模）設向量

a

=（

3

sinθ+cosθ+1，1），

b

=（1，1），θ∈[

π

3

，

2π

3

]，m是向量

a

 在向量

b

向上的投影，則m的最大值是（　　）

• A．

  3 2

  2

• B．4
• C．2

  2

• D．3

Answer 1

分析：由條件求得 

a

•

b

=2sin（θ+

π

6

）+2．由題意可得m=|

a

|•cos＜

a

，

b

＞=

2sin(θ+ π 6 )+2

2

．再由θ∈[

π

3

，

2π

3

]，利用正弦函數的定義域和值域求得
sin（θ+

π

6

）的最大值，即可求得m的最大值．

解答：解：∵向量

a

=（

3

sinθ+cosθ+1，1）=（2sin（θ+

π

6

）+1，1），

b

=（1，1），∴

a

•

b

=2sin（θ+

π

6

）+2．
由題意可得m=|

a

|•cos＜

a

，

b

＞=|

a

|•

a • b

| a |•| b |

=

2sin(θ+ π 6 )+2

2

．
再由θ∈[

π

3

，

2π

3

]，可得θ+

π

6

∈[

π

2

，

5π

6

]，sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]，故m的最大值為

2+2

2

=2

2

，
故選C

點評：本題主要考查兩個向量的夾角公式的應用，兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．