Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第二象限，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)．

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)直線的斜率為時，求的面積；

⑶試比較與大小．

Answer 1

【答案】⑴⑵⑶見解析

【解析】試題分析：（1）利用離心率、左頂點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；（2）根據(jù)直線過原點(diǎn)且斜率為寫出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，求出，再寫出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解；（3）設(shè)直線的方程為， ，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及橢圓的對稱性進(jìn)行求解.

試題解析：⑴因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得

又因?yàn)?/span>，所以

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

⑵因?yàn)橹本�過原點(diǎn)，且斜率為

所以直線的方程為

代入橢圓方程解得

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為

從而有

故的面積等于

⑶方法一：

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程得

設(shè)，則有，解得

從而

由橢圓對稱性可得

所以

于是

故

從而

所以

因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，于是有

方法二：

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為

所以

從而

從而有