Question

設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p²+71的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)不超過10個(gè)，求p．

Answer 1

分析：首先代入最小的質(zhì)數(shù)2及質(zhì)數(shù)3驗(yàn)證，滿足題意，然后討論P(yáng)大于3時(shí)，由p²+71=p²-1+72=（p-1）（p+1）+72，
結(jié)合質(zhì)數(shù)p必為3k±1型的奇數(shù)得到p²+71是24的倍數(shù)，即p²+71=24×m，m≥4．然后分m中有不同于2、3的質(zhì)因數(shù)，m中含有質(zhì)因數(shù)3，m中僅含有質(zhì)因數(shù)2進(jìn)行分析p²+71的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得到答案．

解答：解：當(dāng)p=2時(shí)，p²+71=75=25×3=5²×3．
∵5²的正因數(shù)有1，5，25，即5⁰，5¹，5²，有（2+1）=3個(gè)，3的正因數(shù)有1，3，即3⁰，3¹，有（1+1）=2個(gè)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，p²+71共有正因數(shù)（2+1）（1+1）=6個(gè)，故p=2滿足要求．
當(dāng)p=3時(shí)，p²+71=80=16×5=2²×3．
∵2⁴的正因數(shù)有1，2，4，8，16，即2⁰，2¹，2²，2³，2⁴，有（4+1）=5個(gè)，3的正因數(shù)有1，3，即3⁰，3¹，有（1+1）=2個(gè)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，p²+71共有正因數(shù)（4+1）（1+1）=10個(gè)，故p=3滿足要求．．    
當(dāng)p＞3時(shí)，p²+71=p²-1+72=（p-1）（p+1）+72．質(zhì)數(shù)p必為3k±1型的奇數(shù)，
p-1、p+1是相鄰的兩個(gè)偶數(shù)，且其中必有一個(gè)是3的倍數(shù)．∴（p-1）（p+1）是24的倍數(shù)，
從而p²+71是24的倍數(shù)．   
設(shè)p²+71=24×m，m≥4．
若m有不同于2、3的質(zhì)因數(shù)，則p²+71的正因數(shù)個(gè)數(shù)大于等于（3+1）（1+1）（1+1）＞l0；
若m中含有質(zhì)因數(shù)3，則p²+71的正因數(shù)個(gè)數(shù)大于等于（3+1）（2+1）＞10；
若m中僅含有質(zhì)因數(shù)2，則p²+71的正因數(shù)個(gè)數(shù)大于等于（5+1）（1+1）＞10；
∴p＞3不滿足條件．
綜上所述，所求得的質(zhì)數(shù)p是2或3．
質(zhì)數(shù)p為2或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，訓(xùn)練了反證法思想，解答的關(guān)鍵是如何求出一個(gè)正整數(shù)的正因數(shù)個(gè)數(shù)，有如下規(guī)律：若正整數(shù)n=p1a1•p2a2…pkak，（p₁，p₂，…p_k均為素?cái)?shù)，a₁，a₂，…a_k均為正整數(shù)），則正整數(shù)n的正因數(shù)有（a₁+1）（a₂+1）…（a_k+1）個(gè)．屬中檔題．