Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c和一次函數g(x)=-bx,其中a,b,c是實數,且滿足a＞b＞c,a+b+c=0.

(1)求證:y=f(x)與y=g(x)的圖象交于不同的兩點A,B;

(2)求證:方程f(x)-g(x)=0的兩根都小于2;

(3)求有向線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長度的變化范圍.

Answer 1

解析:∵a＞b＞c,a+b+c=0,

∴a＞0,c＜0.

(1)證明:由消去y,得

ax²+2bx+c=0.①

∴兩圖象交于不同的兩點A,B?方程①有兩個不同實數解.

∵a＞0,c＜0,

∴Δ＞0,∴方程①有兩個不同的實根.

(2)證明:令F(x)=ax²+2bx+c.

∴方程f(x)-g(x)=0的兩根都小于2?y=F(x)的圖象與x軸的交點在點(2,0)的左側.

∵a＞0,

∴只需證對稱軸x=-＜2,且F(2)＞0.

而a＞b＞c,a+b+c=0,

∴a+2b＞0,∴-＜＜2.

又F(2)=4a+4b+c=3(a+b)=3(-c)＞0,

故命題(2)得證.

(3)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則A₁(x₁,0),B₁(x₂,0).

∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|

=.

∵a＞b＞c,a+b+c=0,

∴2a+c＞0,且a+2c＜0.

∴-2＜＜-,

∴|A₁B₁|∈().