Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的零點和極值；

（3）若對任意，都有成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）零點，極小值；（3）1.

【解析】分析：（1）求出導函數，切線切線方程為，化簡即可；

（2）由得極值點，討論極值點兩邊的正負，得極值；

（3）求出在上的最小值和最大值，由最大值－最小值求得，可結合要求的最小值，討論的單調性及最值．

詳解：（1）因為，所以．

因為，所以曲線在處的切線方程為.

（2）令，解得，

所以的零點為.

由解得，

則及的情況如下：

		2
	－	0	+

所以函數在時,取得極小值.

（3）法一：

當時，.

當時，.

若，由（2）可知的最小值為，的最大值為，

所以“對任意，有恒成立”等價于

即， 解得. 所以的最小值為1.

法二：當時，. 當時，.

且由（2）可知，的最小值為，

若，令，則

而，不符合要求，

所以. 當時，,,

所以，即滿足要求，

綜上，的最小值為1.