Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（I）若f（x）能表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）命題P：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數；命題Q：函數g（x）是減函數．如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題意可知f（x）=g（x）+h（x），再根據奇偶性求出f（-x），從而建立方程組，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；
（II）先對函數f（x）進行配方求出對稱軸，根據在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，建立關系式可求出a的范圍，然后根據函數g（x）=（a+1）x是減函數，建立關系求出a的范圍，從而分別求出命題P為真的條件和命題Q為真的條件，最后根據命題P、Q有且僅有一個是真命題求出a的范圍即可．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）

g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2 -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|

（II）∵函數f（x）=(x+

a+1

2

)2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|
在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，
∴（a+1）²≥-

a+1

2

解得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
又由函數g（x）=（a+1）x是減函數，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命題P為真的條件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
命題Q為真的條件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題，∴a＞-

3

2

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及函數的奇偶性與單調性，同時考查了命題的真假的運用，屬于綜合題．