Question

已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線y²=16x的焦點P為其一個焦點，以雙曲線的焦點Q為頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點A（-1，0），B（1，0），且C、D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點M是線段CD上的動點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件知P（4，0），點Q（5，0），設橢圓的標準方程為，且a=5，c=4，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設M（x，y），線段CD方程為，即，由點M是線段CD上，知，由此能求出的取值范圍．
解答：解：（1）由已知得點P為（4，0），點Q為（5，0）…（2分）
∴可設橢圓的標準方程為，且a=5，c=4…（3分）
∴b²=25-16=9，故橢圓的標準方程為．…（5分）
（2）設M（x，y），線段CD方程為，即…（7分）
∵點M是線段CD上，∴
又，
∴，…（10分）
將代入得：
∴…（12分）
∵0≤x≤5，
∴的最大值為24，的最小值為．
∴的取值范圍是．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法和求的取值范圍．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．