Question

【題目】選修4—4：極坐標與參數方程

在平面直角坐標系中，將曲線 (為參數) 上任意一點經過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）, （2），P

【解析】試題分析：（I）根據伸縮變換的公式代入原方程,可以得到伸縮后的曲線方程；

（II）利用點P在橢圓上設出參數坐標,根據點到直線的距離公式求三角函數的最值,并求出取得最值時的值.

試題解析：（I）由已知有（為參數），消去得．

將代入直線的方程得

曲線的方程為，直線的普通方程為.

（II）由（I）可設點為， ．則點到直線的距離為：

故當，即時取最大值．

此時點的坐標為．