Question

已知函數.
（Ⅰ）求的極值； 
（II）判斷y=f(x)的圖像是否是中心對稱圖形，若是求出對稱中心并證明，否則說明理由；
（III）設的定義域為,是否存在.當時，的取值范圍是？若存在,求實數、的值；若不存在，說明理由

Answer 1

是的一個極大值, 是的一個極小值.
、不存在

解：(I)  .注意到，即，
得或．所以當變化時，的變化情況如下表：

所以是的一個極大值, 是的一個極小值.

證法1：方程（曲線）觀點要證f(x)的圖像關于對稱，只需證明點Q也在y=f(x)上，即證

(II) 點的中點是,所以的圖象的對稱中心只可能是.

 
設為的圖象上一點,關于的對稱點是Q，
因，又
所以，

證2：函數的觀點證明中心對稱：要證y=f(x)圖像關于點對稱，只需證

即點也在函數y=f(x)的圖像上。

 
設為的圖象上一點,關于的對稱點是……
(III) 假設存在實數、.,或.
若, 當時, ,而.故不可能…
若,當時, ,而.故不可能….
若,由的單調遞增區間是,知是的兩個解.而無解. 故此時的取值范圍是不可能是.
綜上所述,假設錯誤,滿足條件的實數、不存在.