Question

球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的

1

6

，經過這3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為（　　）

• A、4

  3

• B、2

  3

• C、2
• D、

  3

Answer 1

分析：解法一：利用大小排除，
解法二：這三個點滿足等邊三角形，即可求解角的大小，進而求解R，
解法三：因為正三角形ABC的外徑r=2，故可以得到高，D是BC的中點．
在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．

解答：解法一：過O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，
則O′是△ABC的中心，則O′A=r=2，又因為∠AOC=θ=

π

3

，
OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜邊，
故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因為OA=R，所以2＜R＜4．
因此，排除A、C、D，得B．
解法二：在正三角形ABC中，應用正弦定理，得AB=2rsin60°=2

3

．
因為∠AOB=θ=

π

3

，所以側面AOB是正三角形，得球半徑R=OA=AB=2

3

．
解法三：因為正三角形ABC的外徑r=2，故高AD=

3

2

r=3，D是BC的中點．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
故選B．

點評：本題考查學生的空間想象能力，以及對球的性質認識及利用，是基礎題．