Question

（06年江西卷理）（12分）

已知函數f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值

（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間

（2）若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（－¥，－）	－	（－，1）	1	（1，＋¥）
f¢（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）	­	極大值	¯	極小值	­

所以函數f（x）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥）

遞減區間是（－，1）

（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。

要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2