Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，當x=﹣1時，f（x）的極大值為7；當x=3時，f（x）有極小值．求：

（1）a，b，c的值；

（2）函數f（x）的極小值．

Answer 1

考點：

函數在某點取得極值的條件；函數解析式的求解及常用方法；利用導數研究函數的極值．

專題：

計算題．

分析：

（1）因為當x=﹣1時，f（x）有極大值，當x=3時，f（x）有極小值，所以把x=﹣1和3代入導數，導數都等于0，就可得到關于a，b，c的兩個等式，再根據極大值等于7，又得到一個關于a，b，c的等式，三個等式聯立，即可求出a，b，c的值．

（2）因為函數再x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數，求出的函數值即為函數的極小值．

解答：

解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c

∵f'（x）=3x²+2ax+b

而x=﹣1和x=3是極值點，

所以解之得：a=﹣3，b=﹣9

又f（﹣1）=﹣1+a﹣b+c=﹣1﹣3+9+c=7，故得c=2

（2）由（1）可知f（x）=x³﹣3x²﹣9x+2而x=3是它的極小值點，所以函數f（x）的極小值為﹣25．

點評：

本題主要考查導數在求函數的極值中的應用，做題時要細心．理解極值與導數的對應關系及極值的判斷規則是解題的關鍵，本題是導數應用題，常見題型