Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（3）寫出f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意可得：x∈R，所以定義域關于原點對稱．

又因為 f（x）= = =

所以f（﹣x）= = =﹣f（x），

所以f（x）是奇函數．

（2）f（x）= = =1﹣ ，在R上是增函數，

證明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴

則 f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0

所以f（x1）＞f（x2），則f（x）在R上是增函數．

（3）∵0＜ ＜2

∴f（x）=1﹣ ∈（﹣1，1），

所以f（x）的值域為（﹣1，1）．

【解析】（1）判斷函數的奇偶性，需先判斷函數的定義域關于原點對稱；（2）根據函數單調性的定義可以證明函數的單調性；（3）利用不等式的基本性質求得函數的值域.
【考點精析】關于本題考查的函數的值域和函數單調性的判斷方法，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．