Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若f（x）﹣2a+1≥0對x∈[﹣2，4]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣6x﹣9，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，

故函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞），單調減區間為（﹣1，3）

（2）解：由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上單調遞增，在[﹣1，3]上單調遞減，在[3，4]上單調遞增，

又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），

∴f（x）min=﹣26，

∵f（x）﹣2a+1≥0對x∈[﹣2，4]恒成立，

∴f（x）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，

∴a≤﹣

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）根據函數的單調性求出端點值和極值，從而求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．