Question

（文）已知以a為首項的數列{a_n}滿足：an+1=

an-3，an＞3 2an，an≤3.

（1）若0＜a_n≤6，求證：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n對任意正整數n都成立的k與a；
（3）若a=

3

2m-1

（m∈N﹡），試求數列{a_n}的前m項的和s_m．

Answer 1

分析：（1）根據a_n∈（0，3]時，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，當a_n∈（3，6]時，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，故知a_n+1∈（0，6]，所以當0＜a_n≤6時，總有0＜a_n+1≤6，
（2）分類討論a的值，當a=1時滿足題意的k=3t，同理證明a=2或4時，k和t的關系，再證明a=5或a≥7時k與t之間的關系，
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，然后證明當1＜k≤m時2^k-1a的取值范圍，根據數列求和的知識點求出{a_n}的前m項的和s_m．

解答：解：（1）當a_n∈（0，3]時，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，當a_n∈（3，6]時，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，所以當0＜a_n≤6時，總有0＜a_n+1≤6．　 …（5分）
（2）①當a=1時，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k=3t，t∈N*．
同理可得，當a=2或4時，滿足題意的k=3t，t∈N*．
當a=3或6時，滿足題意的k=2t，t∈N*．
②當a=5時，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k不存在．
③當a≥7時，由（1）知，滿足題意的k不存在．
綜上得：當a=1，2，4時，滿足題意的k=3t，t∈N*；
當a=3，6時，滿足題意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，
當1＜k≤m時，2k-1a≤

3×2m-1

2m-1

=

3×2m-1

2m-1+(2m-1-1)

＜

3×2m-1

2m-1

=3
∴a_k=2^k-1a（k=1，2，…m）（15分）
∴S_m=a₁+a₂+•…+a_m=（1+2+…+2^m-1）a=（2^m-1）a=3---------（18分）．

點評：本題主要考查數列和不等式的綜合的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握數列的求和等知識，此題難度有點大，作答時需要注意．