Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在Rt△ABC中，C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若AD=2

6

，AE=6

2

，求EC的長．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點O，連接OE，易證BC∥OE，從而有OE⊥AC，即證得AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，在△AOE中，由OA²=OE²+AE²可求得r=2

6

，從而可得∠A=30°，∠AOE=60°，∠CBE=∠OBE=30°，于是可求EC．

解答：解：（1）取BD的中點O，連接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，
∴BC∥OE，
∴∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即(r+2

6

)2=r²+(6

2

)2，
解得r=2

6

．
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

r=

1

2

×

3

×2

6

=3

2

．

點評：本題考查直線與圓相切，考查三角形中的邊角運算，突出考查推理分析與運算能力，屬于中檔題．