Question

【題目】如果關于x的方程 正實數(shù)解有且僅有一個，那么實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.{a|a≤0}
B.{a|a≤0或a=2}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥0或a=﹣2}

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由函數(shù)解析式可得：x≠0，如果關于x的方程 有且僅有一個正實數(shù)解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，
構造函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，則函數(shù)f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點．
又∵f'（x）=3x（ax﹣2）
①當a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數(shù)解 滿足要求；
②當a＞0時，則得f（x）在（﹣∞，0）和（ ，+∞）上單調(diào)遞增，在（0， ）上單調(diào)遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x= 時，f（x）取到極小值0，x= 入原方程得到正數(shù)解a=2，滿足要求；
③當a＜0時，同理f（x）在（﹣∞， ）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（ ，0）上單調(diào)遞增
f（0）=1＞0，所以函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸有且僅有一個交點，滿足題意
綜上：a≤0或a=2．
所以答案是：B.