Question

【題目】如圖，已知平面平面，B為線段的中點(diǎn)，，四邊形為正方形，平面平面，，，M為棱的中點(diǎn).

（1）若N為線段上的點(diǎn)，且直線平面，試確定點(diǎn)N的位置；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）N為的中點(diǎn)；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，得到線線平行，在同一個(gè)平面中，根據(jù)相似三角形，即可得到點(diǎn)的位置；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.

（1）連接，∵直線平面，平面，

平面平面，

又M為的中點(diǎn)，為的中位線，

∴N為的中點(diǎn)；

（2）設(shè)，則，，

又∵B為的中點(diǎn)，.

，

又平面平面，平面平面

∴四邊形為平行四邊形.

又，∴四邊形為菱形.

又，，

，，

，

，平面平面

平面，，

，，兩兩互相垂直

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

如下圖所示：

依題意，得，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量

則有且得：

且

令，得，

故

又平面即為平面

平面的一個(gè)法向量，

∴所求銳二面角的余弦值為：

.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.