Question

已知函數為常數，e是自然對數的底數.

（Ⅰ）當時，證明恒成立；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）確定函數有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）實數的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的單調遞增區間是，

由得，故的單調遞減區間是．

所以函數有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）由可知是偶函數．

于是對任意成立等價于對任意成立．

由得．

①當時，．

此時在上單調遞增．

故，符合題意．

②當時，．

當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數的取值范圍是．

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值及不等式恒成立問題。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉化成了研究函數的單調性及最值，得到求證不等式。