Question

【題目】已知拋物線：（）的焦點為，準線為，若點在拋物線上，點在直線上，且是周長為12的等邊三角形.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，若，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據正三角形的周長可以確定三角形的邊長，根據拋物線的定義可以確定，解三角形可以確定，得到結果；

（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及向量數量積坐標公式，建立相應的不等關系式，求解得結果.

（1）因為是周長為12的等邊三角形，

所以，

由拋物線的定義可得，設準線與軸交于點，

則，從而，

在中，，即，

所以拋物線的標準方程為.

（2）由（1）知拋物線的標準方程為.

又由題意可知，直線的斜率存在且不為0，

因為，所以點即為，

設直線的方程為，

將代入，消去可得，

則，解得或.

設，，

則，，且，，

所以

，

解得，所以直線的斜率的取值范圍為.