【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量
單位：克
，重量分組區間為
,
,
,
，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖
如圖
．
（1）求
的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值；
（2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量
內的小球個數為
，求
的分布列和數學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）
【答案】（1）
,眾數約為20，平均值為24.6（2）
【解析】試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積（頻率）之和為1，可計算出
,眾數取頻率最大即矩形最高的那個矩形的中點橫坐標，平均值用各矩形中點值乘頻率相加即得；（Ⅱ）
的可能取值為
、
、
、
，利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在
內的概率為
，因此有
，從而可得分布列，最后由期望公式可計算出期望．
試題解析：（Ⅰ）由題意，得
，
解得
；
又由最高矩形中點的的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數約為20（克）
而
個樣本小球重量的平均值為： 
（克）
故由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為
克；
（Ⅱ）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在
內的概率為
則
. 
的可能取值為
、
、
、
，
， 
，
， 
.
的分布列為：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.（或者
）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的側面PAD是正三角形，底面ABCD為菱形，A點E為AD的中點，若BE=PE． 
（1）求證：PB⊥BC；
（2）若∠PEB=120°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓 
+y2=1，A，B，C，D為橢圓上四個動點，且AC，BD相交于原點O，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）滿足 
= 
．
（1）求證： 
+ 
= 
；
（2）kAB+kBC的值是否為定值，若是，請求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們為了探究函數
的部分性質，先列表如下：
| … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.004 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
觀察表中
值隨
值變化的特點，完成以下的問題.
首先比較容易看得出來：此函數在區間
上是遞減的；
（1）函數
在區間 上遞增
當
時，
= .
（2）請你根據上面性質作出此函數的大概圖像；
（3）試用函數單調性的定義證明：函數
在區間上為減函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（12分）已知函數f（x）=
（1）判斷函數在區間[1,+∞）上的單調性,并用定義證明你的結論．
（2）求該函數在區間[1,4]上的最大值與最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求
的單調區間；
（Ⅱ）求在區間
上的最小值.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.
【解析】（Ⅰ）
.
令
，得
.
與
的情況如上：
所以，的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
.
（Ⅱ）當
，即
時，函數在上單調遞增，
所以在區間上的最小值為
.
當
，即
時，
由（Ⅰ）知在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以在區間上的最小值為
.
當
，即
時，函數在上單調遞減，
所以在區間上的最小值為
.
綜上，當時，的最小值為
；
當時，的最小值為
；
當時，的最小值為
.
【題型】解答題
【結束】
19
【題目】已知拋物線
的頂點在原點,焦點在坐標軸上，點
為拋物線
上一點.
（1）求
的方程；
（2）若點
在
上，過
作
的兩弦
與
，若
，求證: 直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是定義在
上的偶函數，且當
時， 
．現已畫出函數
在
軸左側的圖象，如圖所示，并根據圖象：
（1）直接寫出函數
， 
的增區間；
（2）寫出函數
， 
的解析式；
（3）若函數
， 
，求函數
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在多面體
中，底面
為正方形，四邊形
是矩形，平面
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若過直線
的一個平面與線段
和
分別相交于點
和
(點
與點
均不重合），求證： 
；
（3）判斷線段
上是否存在一點
，使得平面
平面
?若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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