Question

（湖北理21）（本小題滿分14分）
已知m，n為正整數.
（Ⅰ）用數學歸納法證明：當x>-1時，(1+x)^m≥1+mx；
（Ⅱ）對于n≥6，已知，求證，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整數n.

Answer 1

見解析

（Ⅲ）假設存在正整數成立，
即有（）+＝1.　　②
又由（Ⅱ）可得
（）+
+與②式矛盾，
故當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n.
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；
當n=1時，3≠4，等式不成立；
當n=2時，3²+4²＝5²，等式成立；
當n=3時，3³+4³+5³＝6³，等式成立；
當n=4時，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴為偶數，而7⁴為奇數，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴,等式不成立；
當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
綜上，所求的n只有n=2,3.