Question

已知圓C：(x－3)²＋(y－4)²＝4，直線l₁過定點A(1，0)．
(1)若l₁與圓相切，求l₁的方程；
(2)若l₁與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6

(1)①若直線l₁的斜率不存在，即直線是x＝1，符合題意．
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由題意知，圓心(3，4)到已知直線l₁的距離等于半徑2，即＝2，解得k＝.
∴所求直線方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)(解法1)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx－y－k＝0.
由得N.又直線CM與l₁垂直，
由得M.
∴AM·AN＝·
＝＝6為定值．
故AM·AN是定值，且為6.
(解法2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx－y－k＝0.
由得N.再由
得(1＋k²)x²－(2k²＋8k＋6)x＋k²＋8k＋21＝0.
∴x₁＋x₂＝，得M.
以下同解法1.

(解法3)用幾何法
連結CA并延長交l₂于點B，k_AC＝2，kl₂＝－，
∴CB⊥l₂.如圖所示，△AMC∽△ABN，則，
可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值