Question

已知函數f(x)=lg

2+x

2-x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判定函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）判定f（x）的單調性，并求不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）因為對數的真數要大于0，因此解不等式

2+x

2-x

＞0，得到的解集即為函數f（x）的定義域；
（2）用函數奇偶性的定義，結合對數的運算性質化簡，可得f（-x）=-f（x），由此得到函數f（x）是奇函數；
（3）令u=

2+x

2-x

，利用導數研究單調性可得u（x）是（-2，2）上的增函數，所以f（x）在其定義域上是增函數．再結合函數的奇偶性，將不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0等價轉化成關于x的不等式組：

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

，解之即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）根據題意，得

2+x

2-x

＞0，即（2+x）（2-x）＞0
整理得：（x+2）（x-2）＜0，解之得-2＜x＜2
∴函數f（x）的定義域是（-2，2）；
（2）函數f（x）是奇函數，證明如下
∵f(x)=lg

2+x

2-x

，
∴f(-x)=lg

2+(-x)

2-(-x)

=lg

2-x

2+x

=lg(

2+x

2-x

)-1=-lg

2+x

2-x

=-f（x）
因此，函數f（x）是奇函數；
（3）令u=

2+x

2-x

=-1+

-4

x-2

∵u'=

4

(x-2)2

＞0在（-2，2）上恒成立
∴u（x）是（-2，2）上的增函數，可得f(x)=lg

2+x

2-x

在定義域（-2，2）上是增函數．
∵不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0可化成f（1-x）＜f（-1+x²），
∴原不等式即：-2＜1-x＜-1+x²＜2，可得不等式組

-2＜1-x 1-x＜-1+x2 -1+x 2＜2

解此不等式組，可得1＜x＜

3

，即原不等式的解集為（1，

3

）．

點評：本題給出含有分式的對數形式的函數，求函數的奇偶性、單調性并用這些性質解關于x的不等式，著重考查了基本初等函數的單調性、奇偶性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．