Question

將圓x²+y²=4壓扁得到橢圓C，方法是將該圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的

3

2

倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左焦點為F₁，右焦點F₂，直線l過點F₁且垂直于橢圓的長軸，點P為直線l上的動點，過點P且垂直于l的動直線l₁與線段PF₂垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C′的方程；
（3）設過點（0，-2）但不經過第一象限的直線l₂與橢圓C相交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0（O是坐標原點），求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）在曲線C上任取一個動點（x，y），圓x²+y²=4上的對應點的坐標為（x'，y'），進而根據條件得出

x=x′ y= 3 2 y′

，即可求出橢圓方程．
（2）把條件轉化為動點M到定點F₂（1，0）的距離等于它到直線l：x=-1的距離即可求出點M的軌跡的方程．
（3）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．當直線的斜率存在時，設l的方程為y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=0，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，知y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，然后聯立直線與圓錐曲線，由此入手能夠求出直線的方程．

解答：解：（1）在所求橢圓上C上任取一個動點（x，y），圓x²+y²=4上的對應點的坐標為（x'，y'）
由題意可得

x=x′ y= 3 2 y′

 
∵x'²+y'²=4．
∴x²+

4

3

y²=4
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由條件，知|MF₂|=|MP|，
即動點M到定點F₂（1，0）的距離等于它到直線l：x=-1的距離，
由拋物線的定義得點M的軌跡的方程是y²=4x．
（3）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．①
由方程組

x2 4 + y2 3 =1  y=kx-2

得（3+4k²）x²-16kx+4=0．
則x₁+x₂=

16k

3+4k2

，x₁x₂=

4

3+4k2

，
代入①，得（1+k²）•

4

3+4k2

-2k•

16k

3+4k2

+4=0，
即3k²=4，解得k=

2 3

3

或k=-

2 3

3

，
∵直線不經過第一象限，且k=-

2 3

3

時，△＞0
∴k=-

2 3

3

滿足條件，
∴直線的方程是y=-

2 3

3

x-2．

點評：本題考查了橢圓的標準方程、直線方程成以及橢圓方程和直線方程的求法，對于（3）問解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．