Question

（09年臨沂高新區實驗中學質檢）（12分）

       設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N*,都有a₁³＋a₂³＋a₃³＋…＋a_n³＝S_n²，其中Sn為數例{a_n}的前n項和．

       （1）求證：a_n²＝2S_n－a_n；

      

       （2）求數列{a_n}的通項公式；

       （3）設b_n＝3ⁿ＋（－1）^n－1λ?2a_n（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*,都有b_n＋1>b_n成立．

 

Answer 1

解析：（1）由已知，當n＝1時，a₁³＝a₁²,

又∵a₁>0,∴a₁＝1．                                                                                  1分

當n≥2時，a₁³＋a₂³＋a₃³＋…＋a_n³＝S_n²①

a₁³＋a₂³＋a₃³＋…＋a_n－1³＝S_n－1²②                                                             2分

由①②得，a_n³＝（S_n－S_n－1）（S_n－S_a－1）（S_a＋S_a－1）＝a_n（S_n＋S_n－1）．

∵a_n>0,∴a_n2＝S_n＋S_n－1,

又S_n－1＝S_a－a_a,∴a_n²＝2S_n－a_n．                                                              3分

當n＝1時，a₁＝1適合上式．

∴a_n²＝2S_n－a_n．                                                                                      4分

（2）由（1）知，a_n²＝2S_n－a_n,③

當n≥2時，a_n－1²＝2S_n－1－a_n－1,④                                                              5分

由③④得，a_n²－a_n－1²＝2（S_n－S_n－1）－a_n＋a_n－1＝a_n＋a_n－1．                   6分

∵a_n＋a_n－1>0,∴a_n－a_n－1＝1,數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1．  7分

∴a_n＝n．                                                                                                 8分

（3）∵a_n＝n．,∴b_n＝3n＋（－1）^n－1λ?2ⁿ．

要使b_n＋1>bn恒成立，

b_n＋1－b_n＝3^n＋1－3n＋（－1）ⁿλ?2n＋1－（－1）^n－1λ?2n

＝2×3n－3λ（－1）^n－1?2n>0恒成立，  9分

即（－1）^n－1λ<（）^n－1恒成立．

。當n為奇數時，即λ<（）^n－1恒成立．

又（）^n－1的最小值為1．∴λ<1．                                                         10分

。當n為偶數時，即λ>－（）恒成立，

又－（）^n－1的最大值為－，∴λ>－．                                           11分

即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數，

∴λ＝－1，使得對任意n∈N*,都有b_n＋1<b_n．                                                            12分