Question

設(shè)函數(shù)（），．
（Ⅰ）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）對于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．　　（Ⅱ）．

(1)解本題的關(guān)鍵是把不等式解集的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的分布問題.把函數(shù)代入整理得構(gòu)造結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，則另一個(gè)零點(diǎn)必在內(nèi)，所以解得；也可以分解因式確定解集的端點(diǎn)解得.前提都要保證.
（2）與是否存在“分界線”要先看是否存在公共點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性可求出與有公共點(diǎn)，所以分界線必過點(diǎn)設(shè)出“分界線”方程為，
證明在恒成立，求出.然后證明恒成立．即可得到所求“分界線”方程為：
（Ⅰ）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，
等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，　
令，由
且，
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，
則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，           　…………4分
故解之得．　　　       ………………6分
解法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，
，
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220929047557.png" style="vertical-align:middle;" />，　…………4分
所以，解之得．　　……………6分
（Ⅱ）設(shè)，則．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此時(shí)，取得最小值，
則與的圖象在處有公共點(diǎn)．………8分
設(shè)與存在 “分界線”，方程為，
即，
由在恒成立，
則在恒成立 ．
所以
因此．　　　 　………11分
下面證明恒成立．
設(shè)，則．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此時(shí)取得最大值，則 
故所求“分界線”方程為：．