Question

【題目】對于數列，設表示數列前項， ， ， 中的最大項．數列滿足： ．

（）若，求的前項和．

（）設數列為等差數列，證明： 或者（為常數），， ， ， ．

（）設數列為等差數列，公差為，且．

記，

求證：數列是等差數列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）由可得， ， ， ， ，從而可得結果；（2）設公差為，當時， 單調遞減， （為常數），當時， 單調遞增， ，∴或者（為常數）；（）求出， ， ，以此類推，

為常數，所以數列是等差數列.

試題解析：（）∵

，

當時， 單調遞增，

∴，

，

，

當時， 單調遞減，

∴，

，

，

∴．

（）∵是等差數列，設其公差為，

當時， 單調遞減， （為常數），

當時， 單調遞增， ，

∴或者（為常數），， ， ．

（）∵是等差數列， ，

∵，

，

∵， ，

∴，

∴，

同理，

以此類推，

為常數，

∴數列是等差數列．